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《高等数学》课程复习资料 [复制链接]

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admin 发表于 2018-6-3 00:43:05 |显示全部楼层
《高等数学》课程复习资料
一、填空题:
1.设 ,则函数的图形关于        对称。
2.若 ,则            .
3.极限              。
4.已知 ,则            ,                。
5.已知 时, 与 是等价无穷小,则常数 =         
6.设 ,其中 可微,则 =          。
7.设 ,其中 由 确定的隐函数,则         。
8.设 具有二阶连续导数,则               。
9.函数 的可能极值点为               和                。
10.设 则                       。
11.                        
12.               。
13.若 ,则               。
14.设D:  ,则由估值不等式得                    
15.设 由 围成( ),则 在直角坐标系下的两种积分次序
为                   和                        。
16.设 为 ,则 的极坐标形式的二次积分为            。
17.设级数 收敛,则常数 的最大取值范围是                        。
18.                       。
19.方程 的通解为       。
20.微分方程 的通解为          。
21.当n=                  时,方程  为一阶线性微分方程。
22.若 阶矩阵 的行列式为 是 的伴随矩阵,则                 。
23.设A 与B 均可逆,则C= 也可逆,且 =          。
24.设 ,且 ,则X =            。
25.矩阵 的秩为             。
26.向量 ,其内积为              。
27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是                       。
28.给定向量组 ,若 线性相关,则a,b满足关系式             。
29.已知向量组(Ⅰ)与由向量组(Ⅱ)可相互线性表示,则r(Ⅰ)与r(Ⅱ)之间向量个数的大小关系是          。
30.向量 =(2,1)T 可以用 =(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为                  。
31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的                条件。
32.设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组 b有唯一解的充要条件是r(A)        r(A|b )=         。
33.已知 元线性方程组 有解,且 ,则该方程组的一般解中自由未知量的个数为    。
34.设 是方阵A的一个特征值,则齐次线性方程组 的      都是A的属于 的特征向量。
35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则 的特征值为             。
36.设A是n阶方阵,|A|≠0, 为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵,若A有特征值 ,则 必有特征值λ=                 。
37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值 所对应的特征向量,则与 的内积(,)=            。
38.二次型 的秩为         。
39.矩阵 为正定矩阵,则 的取值范围是              。
40.二次型 是正定的,则 的取值范围是            。
41.A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为          。
42.事件A、B相互独立,且知 则              。
43.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为           。
44.在相同条件下,对目标独立地进行5次射击,如果每次射击命中率为0.6,那么击中目标k次的概率为
              ( )。
45.设随机变量X服从泊松分布,且 ,则 =               。
46.设随机变量X的分布密度为 ,则 =              。
47.若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:
Y
X        1        2
1        1/16        3/16
2         
b
且X,Y相互独立,则常数  =            ,b =            。
48.设X的分布密度为 ,则 的分布密度为                。
49.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:
Y
X        1        2
1         
0.2
2         
0.3
则 与 应满足的条件是            ,当X,Y相互独立时, =            。
50.设随机变量X与Y相互独立,且 。令Z=-Y+2X+3,则 =             。
51.已知随机变量X的数学期望 .令Y=2X-3,则 =                 。

二、单项选择题:
1.设 ,则 =                                                    [    ]
A.x                 B.x + 1             C.x + 2             D.x + 3
2.下列函数中,(  )不是基本初等函数。                                               [    ]
A.           B.          C.          D.
3.下列各对函数中,(  )中的两个函数相等。                                           [    ]
A. 与           B. 与
C. 与              D. 与
4.设 在 处间断,则有                                                       [    ]
A. 在 处一定没有意义;
B. ; (即 );
C. 不存在,或 ;
D.若 在 处有定义,则 时, 不是无穷小
5.函数  在x = 0处连续,则k =                              [    ]
A.-2                B.-1                C.1                 D.2
6.若 , 为无穷间断点, 为可去间断点,则                   [    ]
A.1                 B.0                 C.e                 D.e-1
7.函数 的定义域为                                        [    ]
A.         B.        C.        D.
8.二重极限                                                                [    ]
A.等于0            B.等于1             C.等于             D.不存在
9.利用变量替换 ,一定可以把方程 化为新的方程         [    ]
A.         B.          C.          D.
10.若 ,在 内 则 在 内              [    ]
A.                    B.
C.                    D.
11.设 的某个邻域内连续,且 , ,则在点 处      [    ]
A.不可导            B.可导,且   C.取得极大值        D.取得极小值
12.设函数 是大于零的可导函数,且 ,则当 时,有    [    ]
A.                   B.
C.                   D.
13.                                   [    ]
A.                      B.
C.                        D.
14.设 上具有连续导数,且 ,则      [    ]
A.2                 B.1                 C.-1                D.-2
15.设 上二阶可导,且 。记
, , ,则有                  [    ]
A.       B.        C.        D.
16.设幂级数 在 处收敛,则此级数在 处                           [    ]
A.绝对收敛          B.条件收敛          C.发散              D.收敛性不能确定
17.下列命题中,正确的是                                                               [    ]
A.若级数 的一般项有 则有
B.若正项级数 满足 发散
C.若正项级数 收敛,则
D.若幂级数 的收敛半径为 ,则 。
18.设级数 收敛,则级数                                               [    ]
A.绝对收敛          B.条件收敛          C.发散              D.敛散性不确定
19.微分方程 的通解是                                          [    ]
A.                    B.
C.                    D.
20.设 满足微分方程 ,若 ,则函数 在点     [    ]
A.取极大值          B.取极小值          C.附近单调增加      D.附近单调减少.
21.函数 在点 处的增量满足 且 ,则 (D)[    ]
A.                B.                 C.                D.
22.若含有s个向量的向量组线性相关,且该向量组的秩为r,则必有                         [    ]
A.r=s                B.r>s              C.r=s+1              D.r<s
23.已知向量组 线性相关,则 =      [    ]
A.                 B.                C.                 D.
24.向量组 线性相关的充分必要条件是                                         [    ]
A. 中含有零向量
B. 中有两个向量的对应分量成比例
C. 中每一个向量都可由其余 个向量线性表示
D. 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示
25.对于向量组 ,因为 ,所以 是           [    ]
A.全为零向量        B.线性相关          C.线性无关          D.任意
26.设A,B均为n阶矩阵,且AB=O,则必有                                               [    ]
A.A=O或B=O         B.|A|=0或|B|=0     C.A+B=O             D.|A|+|B|=0
27.若非齐次线性方程组Am×n X = b的(  ),那么该方程组无解                               [    ]
A.秩(A) = n        B.秩(A)=m          C.秩(A)秩( )    D.秩(A)=秩( )
28.若线性方程组的增广矩阵为 ,则当 =(  )时线性方程组有无穷多解。       [    ]
A.1                 B.4                 C.2                 D.
29.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则 有一个特征值是                             [    ]
A.                 B.                 C.                 D.
30.若二次型 正定,则                                [    ]
A.              B.               C.              D.
31.已知 是矩阵 的特征向量,则 =                                [    ]
A.1或2             B.-1或-2           C.1或-2             D.-1或2
32.在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为   [    ]
A.          B.             C.   D.
33.袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为 [    ]
A.                 B.            C.          D.
34.设A、B互为对立事件,且 则下列各式中错误的是                    [    ]
A.       B.       C.         D.
35.离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } = , k = 1,2,3,4.则                      [    ]
A.0.05              B.0.1               C.0.2                D.0.25
36.设随机变量X的分布函数为 则 =    [    ]
A.                 B.                 C.                 D.
37.设随机变量X服从 ,的值                                    [    ]
A.随 增大而减小    B.随 增大而增大    C.随 增大而不变    D.随 减少而增大.
38.设随机变量 ,则 服从                                          [    ]
A.          B.            C.       D.
39.对目标进行3次独立射击,每次射击的命中率相同,如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于                                                                            [    ]
A.0.1               B.0.2               C.0.3               D.0.4
40.设随机变量X的概率密度为 ,则 =               [    ]
A.-1                B.0                 C.1                 D.以上结论均不正确

三、解答题:
1.设     ,已知 在 处连续可导,试确立 并求
2.设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 。
3.设 讨论 在(0,0)
(1)偏导数是否存在。
(2)是否可微。
4.在过点 的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
5.
6. ,其中 为圆域 。
7.设 在 上连续,求证: 。
证明:
8.求幂级数 收敛区间及和函数 :
9.求解 。
10.求解 。
11.求解 满足 。
12.求解 满足 。
13.设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为 ,试确定 ,并求该方程的通解。
14.计算下列行列式 。
15.计算下列行列式 。
16.证明:
17.设AX+E=A2+X,且A= ,求X 。
18.已知矩阵 ,求常数a,b。
19.将向量 表示成 的线性组合:
20.问 , 取何值时,齐次方程组

有非零解?
21.设线性方程组

试问c为何值时,方程组有解?若方程组有解时,求一般解。
22.求一个正交变换化下列二次型为标准型:

23.某工人看管甲、乙、丙3台机器,在1小时内,这3台机器不需照管的概率分别为0.8,0.9,0.6,设这三台机器是否需照管是相互独立的,求在1小时内:(1)有机床需要工人照管的概率;(2)机床因无人照管而停工的概率?
24.设随机变量X的分布密度为 求:(1)常数A;(2)X的分布函数;
25.设二维随机变量(X,Y)在区域 内服从均匀分布。求:
(1)(X,Y)的联合分布密度;
(2)X与Y的边缘分布密度,并问它们是否相互独立?
26.设X,Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
         
求随机变量Z=X+Y的概率密度函数。
27.某工厂生产的一种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,密度函数为 为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换,若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元。求工厂出售一台设备赢利的数学期望。
28.设随机变量(X,Y)服从正态分布,且X和Y分别服从正态分布  ,X与Y的相关系数 ,求Z的数学期望 和方差 ;


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参考答案
一、填空题:
1.设 ,则函数的图形关于      对称。
解: 的定义域为 ,且有
即 是偶函数,故图形关于 轴对称。
2.若 ,则               。解: 。
3.极限                    。
解:
注意: (无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)
,其中 =1是第一个重要极限。
4.已知 ,则 _____,  _____。
由所给极限存在知, ,得 ,又由
, 知
5.已知 时, 与 是等价无穷小,则常数 =         
解:
6.设 ,其中 可微,则 =          。
解:              
7.设 ,其中 由 确定的隐函数,则        。
解:              ,
          时,

8.设 具有二阶连续导数,则            。
解:
9.函数 的可能极值点为         和          。
解:   
, , ,
不是, 不是 不是
负定,极大值    ( , )
10.设 则                  。
解:因为 ,故
11.                 。
解:原式

.
12.           。
解:

13.若 ,则               。
答案:∵  

14.设D:  ,则由估值不等式得                    
解: ,又   

由 ,
∴   
15.设 由 围成( ),则 在直角坐标系下的两种积分次序为               和                 。
解:D:(X—型)=D1+D2, ,

D:(Y—型)     
16.设 为 ,则 的极坐标形式的二次积分为        。
解:D: ,
17.设级数 收敛,则常数 的最大取值范围是                        。
解:由 级数的敛散性知,仅当 即 时,级数 收敛,其他情形均发散.
18.                 。
解:因为 ,
所以原积分
19.方程 的通解为
20.微分方程 的通解为 .
21.当n=_________时,方程  为一阶线性微分方程。
解    或1.
22.若 阶矩阵 的行列式为 是 的伴随矩阵,则 __________。
答案:27
23.设A 与B 均可逆,则C = 也可逆,且 =           。
答案:  
24.设 ,且 ,则X =            。
答案:   
25.矩阵 的秩为               。
解答:将矩阵化成阶梯形,可知填写:2。
26.向量 ,其内积为____________。
答案:      
27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是                       。
答案:r=n,或|A|≠0;   
28.给定向量组 ,若 线性相关,则a,b满足关系式         。答案:a-2b=0   
29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示,则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是         。
答案:相等
30.向量 =(2,1)T 可以用 =(0,1)T与  =(1,3)T线性表示为                  。答案: ;
31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的          条件。答案:必要不充分
32.设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组 b有唯一解的充要条件是r(A)     r(A|b )=     。
答案:  ;
33.已知 元线性方程组 有解,且 ,则该方程组的一般解中自由未知量的个数为    。
解答:
34.设 是方阵A的一个特征值,则齐次线性方程组 的      都是A的属于 的特征向量。
答案:非零解
35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则 的特征值为       。答案:  ;
36.设A是n阶方阵,|A|≠0, 为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵,若A有特征值 ,则 必有特征值 .                 。答案: .
37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值 所对应的特征向量,则与 的内积(,)=     。
答案: 0  
38.二次型 的秩为         。答案:4.  
39.矩阵 为正定矩阵,则 的取值范围是_________。答案:
40.二次型 是正定的,则 的取值范围是_____。答案:
41.A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC     。
42.事件A、B相互独立,且知 则           。
解:∵A、B相互独立,   ∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
43.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为         。
解:P(A+B)=1–P
44.在相同条件下,对目标独立地进行5次射击,如果每次射击命中率为0.6,那么击中目标k次的概率为
         ( )。
解:设X表示击中目标的次数,则X服从二项分布,其分布律为:
45.设随机变量X服从泊松分布,且 则 =       。
解:∵X服从泊松分布,其分布律为P{X=k}= (k=0, 1, 2,  >0)
由已知得: ,求得 =2        ∴ P{X=3}=
46.设随机变量X的分布密度为 ,则 =         .
解:由性质
即:  

解得:a=2
47.若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:
Y
X        1        2
1        1/16        3/16
2         
b
且X,Y相互独立,则常数  =       ,b =       .
解:∵ X,Y相互独立
    ∴ P(X=1,Y=1)=P(X=1) • P(Y=1)
    即:               ∴ a=
   又 ∵             ∴        ∴ b=
48.设X的分布密度为 ,则 的分布密度为         。
解:∵P{Y≤y}=P(X3≤y)=P(X≤ )=Fx( )
∴Y=X3的分布密度为: (y)= ,y≠0
49.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:
Y
X        1        2
1         
0.2
2         
0.3
则 与 应满足的条件是            ,当X,Y相互独立时, =             。
解:∵ =1     ∴  =1   即有 =0.5
当X,Y相互独立   ∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)
∴ =( +0.2)( + )          ∴ =0.2
50.设随机变量X与Y相互独立,且 令Z = -Y + 2X +3,则 =        。
解:∵ X与Y相互独立,∴ D(Z)=D(–Y+2X+3)=D(–Y)+D(2X+3)
                            =(–1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。
51.已知随机变量X的数学期望 .令Y=2X-3,则 =                。
解:D(Y)=D(2X–3)=4D(X)=4{E(X2)–[E(X)]2}=4(4–12)=12。
二、单项选择题:
1.设  ,则 =(    ).
A.       B.      C.        D.
解:由于 ,得   =
将 代入,得 =
正确答案:D
2.下列函数中,(  )不是基本初等函数。
A.       B.      C.         D.
解:因为 是由 , 复合组成的,所以它不是基本初等函数。
正确答案:B
3.下列各对函数中,(  )中的两个函数相等。
A. 与     B. 与
C. 与       D. 与
解: A
4.设 在 处间断,则有(  )
A. 在 处一定没有意义;
B. ; (即 );
C. 不存在,或 ;
D.若 在 处有定义,则 时, 不是无穷小
答案:D
5.函数  在x = 0处连续,则k =             。
A.-2      B.-1              C.1                 D.2
答案:B
6.若 , 为无穷间断点, 为可去间断点,则 (    ).
A.1     B.0     C.e     C.e-1
解:由于 为无穷间断点, 所以 , 故 . 若 , 则 也是无穷间断点. 由 为可去间断点得 .故选(C).
7.函数 的定义域为(    )。
A.     B.     C.         D.
解:z的定义域为:   (选D)
8.二重极限 (    )
A.等于0             B.等于1            C.等于            D.不存在
解: 与k相关,因此该极限不存在      (选D)
9.利用变量替换 ,一定可以把方程 化为新的方程(    )
A.           B.           C.           D.
解:z是x,y的函数,从 , 可得 , ,故z是u,v的函数,又 , 故z是x,y的复合函数,故 , ,从而
左边=
因此方程变为:                 (选A)
10.若 ,在 内 则 在 内(    ).
A.                   B.
C.                   D.
解:(选C)
11.设 的某个邻域内连续,且 , ,则在点 处
(  )。
A.不可导            B.可导,且   C.取得极大值        D.取得极小值
解:因为 ,则 在 的邻域内成立, 所以 为 的极小值,故选D。
12.设函数 是大于零的可导函数,且 ,则当 时,有(  )。
A.                   B.
C.                   D.
解:考虑辅助函数


13. (    )。
A.                    B.
C.                      D.
解:由积分上限函数的导数可得 ,故选(A).
14.设 上具有连续导数,且 ,则 (    )。
A.2                 B.1                 C.-1                D.-2
解:因为
,故应选(A)
15.设 上二阶可导,且 记
     ,  ,则有(    ).
A.        B.        C.       D.
解:依题意,函数在上严格单调减少,且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得 ,故选B。
16.设幂级数 在 处收敛。则此级数在 处(    ).
A.绝对收敛          B.条件收敛          C.发散              C.收敛性不能确定
解:选A。
17.下列命题中,正确的是(    )。
A.若级数 的一般项有 则有
B.若正项级数 满足 发散
C.若正项级数 收敛,则
D.若幂级数 的收敛半径为 ,则 .
解:由 有 ,因此 ,从而 发散。故选(B)。
18.设级数 收敛,则级数 (    )。
A.绝对收敛          B.条件收敛          C.发散              D.敛散性不确定
解:因为 收敛,即幂级数 在 处收敛,由Able定理知,幂级数在 处绝对收敛,亦即 绝对收敛。故选(A)。
19.微分方程 的通解是(     )
A.                    B.
C.                    D.
解:D
20.设 满足微分方程 ,若 ,则函数 在点 (    )。
A.取极大值          B.取极小值          C.附近单调增加      D.附近单调减少
解:B
21.函数 在点 处的增量满足 且 ,则 (D)
A.         B.          C.           D.
解:令 ,得   , , ,故选(D)。
22.若含有s个向量的向量组线性相关,且该向量组的秩为r,则必有                        (    )
A.r=s           B.r>s             C.r=s+1              D.r<s
答案:D
23.已知向量组 线性相关,则 =     (    )
A.-1             B.-2              C.0               D.1
答案:(C)  
24.向量组 线性相关的充分必要条件是                                        (    )
A. 中含有零向量
B. 中有两个向量的对应分量成比例
C. 中每一个向量都可由其余 个向量线性表示
D. 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示
答案:(D)
25.对于向量组 ,因为 ,所以 是(    )
A.全为零向量    B.线性相关      C.线性无关      D.任意.
答案: D;   
26.设A,B均为n阶矩阵,且AB=O,则必有                                   (    )
A.A=O或B=O     B.|A|=0或|B|=0        C.A+B=O       D.|A|+|B|=0
答案:B   
27.若非齐次线性方程组Am×n X = b的(  ),那么该方程组无解。                         (    )
A.秩(A)=n       B.秩(A)=m        C.秩(A)秩( )   D.秩(A)=秩( )
解:根据非齐次线性方程组解的判别定理,得 Am×n X = b无解 秩(A)  秩( )
正确答案:C
28.若线性方程组的增广矩阵为 ,则当 =(  )时线性方程组有无穷多解。(    )
A.1                B.4             C.2                D.
解:将增广矩阵化为阶梯形矩阵,
  
此线性方程组未知量的个数是2,若它有无穷多解,则其增广矩阵的秩应小于2,即 ,从而 = ,即正确的选项是D。
29.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则 有一个特征值是             (    )
A.                 B.               C.               D.
答案:C  
30.若二次型 正定,则(     )
A.          B.           C.         D.
答案:(D)
31.已知 是矩阵 的特征向量,则 =(     )
(A)  或         (B)  或          (C)  或           (D)  或
答案:(C)   
32.在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为(    )
(A)   (B)   (C)  (D)
解:由事件间的关系及运算知,可选(A)
33.袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为(    )
(A)      (B)          (C)              (D)
解:基本事件总数为 ,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数为 =5,故P(A)= ,故应选(D)。
34.设A、B互为对立事件,且 则下列各式中错误的是(    )
(A)      (B)      (C)     (D)
解:因为A、B互为对立事件,所以P(A+B)=1,P(AB)=0,又P(A) ,P(B)>0,
所以 =A,因而P( |A)=P(A|A)=1,故选(A)
35.离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } = , k = 1,2,3,4.则 (     )
(A)0.05   (B)0.1   (C)0.2   (D)0.25
解:由概率分布性质可知,常数a应满足 ,∴ a+2a+3a+4a=1,即有a=0.1,故应选(B)。
36.设随机变量X的分布函数为 则
=(  )
(A)   (B)   (C)   (D)
解:∵  
,故应选(C)。
37.设随机变量X服从 ,的值(    )
(A)随 增大而减小;    (B)随 增大而增大;
(C)随 增大而不变;    (D)随 减少而增大.
解:∵X~N( , 4)   ∴P[X≤2+ ]=P ,而 值不随 的变化而变化,∴P{X≤2+ }值随 增大而不变,故应选(C)。
38.设随机变量 ,则 服从(    )
(A)    (B)    (C)     (D)
解  选(D),∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a +b
              D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2
           ∴ Y~N(a +b,a2 )。
39.对目标进行3次独立射击,每次射击的命中率相同,如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于(  )
(A)0.1       ( B ) 0.2        ( C ) 0.3        ( D ) 0.4
解:选(D);由题意知:X~B(3, p),而D(X)=3 • p • (1–p)=0.72
∴ p=0.4。
40.设随机变量X的概率密度为 ,则 =(    )。
(A)-1      (B)0      (C)1      (D)以上结论均不正确
解:选(B);∵E(X)= ,而被积函数为对称区间上的奇函数,∴ E(X)=0。
三、解答题:
1.设     ,已知 在 处连续可导,
试确立 并求
解: , , 在 处连续,
∴ ,即 。
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
,故

2.设 , 其中 具有二阶连续偏导数,求 .
解: ,

.
3.设 讨论f(x,y)在(0,0)
(1)偏导数是否存在。
(2)是否可微。
解:(1)
同理可得 ,偏导数存在。
(2)若函数f在原点可微,则

应是较 高阶的无穷小量,为此,考察极限 ,由前面所知,此极限不存在,因而函数f在原点不可微。
4.在过点 的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
解:设平面方程为 , 其中 均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为 ,且 ,令 ,则由
,求得      
由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 , 且 .
5.
解: =  

6. ,其中 为圆域 。
解:将区域 分为 ,其中 。于是

7.设 在 上连续,求证: 。
证明:
由重积分中值定理, ,使得 ,当 时,
由f的连续性,知 ,从而有:


8.求幂级数 收敛区间及和函数 :
解: ,所以, , .
当 时,级数成为 ,由调和级数知发散;
当 时,级数成为 ,由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为 。
设 ,则 ,
所以, .
9.求解     
解:原方程可化为 ,两边积分得
,即 。由 得 ,故 即为所求。
10.求解 。
解:原式可化为 ,令 ,得 ,即 , 两边积分得  ,即 , ,由 得 ,
故所求特解为   。
11.求解 满足
解:特征方程为 , ,故通解为 ,由  得 ,故 为所求特解。
12.求解 满足
解:对应的齐次方程的通解为 ,设特解为 代入原方程得 ,故原方程通解为 ,由 得 ,
∴ 。
13.设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为 ,试确定 ,并求该方程的通解。
解:将 , , ,代入原方程得 ,故
,方程为 ,故通解为

14.计算下列行列式 。
解:
15.计算下列行列式  
解:
16.证明:  
证:


17.设AX+E=A2+X,且A= ,求X。
解:由AX+E=A2+X,得(A–E)X=A2–E,而A–E可逆,故X=A+E= 。
18.已知矩阵 ,求常数a,b。
解:因为
所以    ,得b = 2。
19.将向量 表示成 的线性组合:
解:设 ,按分量展开得到

求解得到 ,即
20.问 , 取何值时,齐次方程组

有非零解?
解:齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零,故

即 或 齐次方程组有非零解。
21.设线性方程组

试问c为何值时,方程组有解?若方程组有解时,求一般解。
解:  
可见,当c = 0时,方程组有解。且

原方程组的一般解为
(x3是自由未知量)   
22.求一个正交变换化下列二次型为标准型:
(1)
解:对应的矩阵为

特征值为
正交矩阵为 ,标准型为
23.某工人看管甲、乙、丙3台机器,在1小时内,这3台机器不需照管的概率分别为0.8,0.9,0.6,设这三台机器是否需照管是相互独立的,求在1小时内:(1)有机床需要工人照管的概率;(2)机床因无人照管而停工的概率.
解:(1)设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3,则有机床需要工人照管的事件为 ,因而
=0.568
(2)以B表示“机床因无人照看而停工”

=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4
=0.124
24.设随机变量X的分布密度为 求:(1)常数A;(2)X的分布函数。
解:
(1)由性质
即:
∴ A=
(2)由(1)知f(x)=
        ∴ F(x)=
               
                       (–∞<x<+∞)
25.设二维随机变量(X,Y)在区域 内服从均匀分布.求
(1)(X,Y)的联合分布密度;
(2)X与Y的边缘分布密度,并问它们是否相互独立?
解:(1)区域0≤x≤1,y2≤x的面积A由图如示:
则:
依题意有:
(2)∵

∴      
又∵
∴X, Y不相互独立.
26.设X,Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
         
求随机变量Z=X+Y的概率密度函数.
解:设Z的密度函数为fZ(z),则由卷积公式得

a)当z<0时,f (t)=0,∴f (z)=0
b)当0≤z<1时,z-1<0,z≥0

c)当z≥1时,z-1≥0

综述:
27.某工厂生产的一种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,密度函数为

为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换,若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
解:法一:P{X≥1}= ,设Y表示厂方出售一台设备的赢利数,则Y的分布律为
                 Y      100       -200
                 P               
∴ E(Y)= 33.64。
    法二:E(Y)=
              = 33.64。
28.设随机变量(X,Y)服从正态分布,且X和Y分别服从正态分布
,X与Y的相关系数 ,求Z的数学期望 和方差 ;
解:E(Z)= ;
D(Z)=

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